円周率とはなんぞ？終わりはあるのか？求め方は？
皆さん、円は見たことあると思います。
こういうやつです。
中心からの距離が常に一定という、神秘的な図形です。
そして皆さん、小学校に上がったときに「円周率」というものを学んだと思います。
そうあの3.14とかいうアレです。
ゆとり教育で3と見なされたり見なされなかったりしたアレです。
今回はその円周率について解説していきたいと思います。
円周率とは？
wikipediaさんによるとこのように書かれています。
円の周長の直径に対する比率として定義される数学定数である。
出典:wikipedia
やや耳慣れない言葉があると思いますので解説します。
以下の図をご覧ください。
まず円には必ず中心が存在します。これは円が「中心からの距離が等しい点の集合でできる曲線のこと」をいうからです。
適当な点(中心)を取って、そこから360度同じ距離の点を全て取ると円ができあがります。
そして周長とは、文字通り「円周の長さ」を指します。単に「円周」とも呼ばれます。
次に、中心から円周上の点を結んだ長さを「半径」と呼び、中心を通りつつ円周上から円周上への線の長さを「直径」と言います。
最後に円の周長の直径に対する比率ですが、円周が直径の何倍なのかを表しています。
それが円周率(π)と言っているわけですから、円の場合は常に、円周は直径の(円周率)倍ある、ということです。
直径が1cmなら円周の長さは3.1415…cmですし、
直径が10cmなら円周は31.4159…cmということになります。
スポンサーリンク円周率に終わりはあるの？
残念ながら円周率は3でも3.14でもなく、(あくまでも近似値)
円周率に終わりはありません。無限に続きます。
とある記事では円周率が10桁で割り切れた、なんてものもありますが、元ネタの記事を見れば分かるとおり「虚構新聞」つまり嘘ですのでご注意を。
しかもその無限に続く小数はループしないのです。
たとえば1/3は
1/3=0.3333333.…で3でループしますし、
2/11は、
2/11=0.181818181818…と18でループしてますよね。
ですが、円周率にはそういったループが存在しません。
一応wikipediaに証明は載っていますが、正直見ただけで理解出来る人はそういないと思います。
→円周率の無理性の証明
円周率のような「繰り返しのなく無限に続く小数」を「無理数」と言います。
図形にはよく無理数が登場します。円には円周率という無理数が登場しますし、たとえば次のような1cmの正方形の対角線の長さも無理数であることが分かっています。
無理数には大きな特徴があり、それは「整数/整数」の分数表記が出来ないことです。
つまり円周率は分数で表すこともできず、もはやπとしかおけない存在になってしまうのです。
じゃあどうやって求めてるの？
そんな無限に続く円周率をどうやって求めているのか？といった疑問がでてくると思います。
もちろん原始的に円を持ってきて直径と円周を測る、というやり方もあるでしょうが、恐らくそれでは正確な値は出ないと思います(測定誤差などの観点から)
一番有名なのが、多角形を中と外からはさみうちするやり方ですね。
出典：http://keisan.casio.jp/exec/system/1258423860
この図のように円周を多角形で挟みます。多角形は角の数が増えるほど円に近づいていきます(下図参照)ので、
角の数を増やすことで円周率のおよその値が求まります。
ちなみに、こちらのサイトを使うと、それが実感できるようになっています。
そのサイトを用いて、16,777,216角形で挟むと、
3.14159265358977…<π<3.14159265358982…
になります。
他にも級数(無限回の足し算)などを用いても、円周率を求めることが出来ます。
それがこちら
これはかの天才数学者、オイラーが発見しました。
他にもこのような式が円周率に結びつくことも知られています。
証明についてはここでは取り扱いませんが、円を用いることなく円周率が出てくるなんて、不思議だと思いませんか？
まとめ・円周率という神秘的な数
いかがだったでしょうか。
円周率の求め方は分かりますが、なぜ円周率が3.14…なのか、それは分かりません。
3や4のような整数ではなく、また22/7のような分数でもなく、3よりちょっと大きい無限に続く小数なのかは分かりません。
こういった数を見ていると、それを決めた何者かがいるように思えてしまいます。
中途半端で無秩序な数が、円という秩序だった図形を生み出す、それにどうしても不可思議さを感じてしまいます。
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